10Sınıf Matematik Dersi Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu Testi Soru No : 32729, Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu, 10.Sınıf Matematik Dersi Testi Çöz. İLKOKUL. 1. SINIF 2. Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı Üslü İfadeler Konu Anlatım 8 SINIF FİİLDE ÇATI KONU ANLATIMI. “Fiil çatısı” sözü ilk duyulduğunda “Neden çatı denmiş ki?” gibi bir soru gelebilir akıllara. Bir evin çatısını düşünelim (Genelde üçgen şeklinde çizilir) çatının alt kısmına yüklemi koyarsak üstteki iki kenara da özne ve nesneyi koyduğumuzda fiil çatısını 10Sınıf Matematik SAYMA VE OLASILIK BİNOM AÇILIMI – II OGM Materyal Konu Özeti. Bu konu özeti 10.Sınıf Matematik için Ortaöğretim Genel Müdürlüğü yani OGM Materyal tarafından 10.Sınıf öğrencilerinin. 10.Sınıf Matematik Konu Özeti (OGM Materyal) 3Konu Son İleti Gönderen: Uyanan Gençlik 8.Sınıf Matematik - Gerç 23 Ocak 2015, 09:19:01 Eşitsizlikler . 1 İleti 1 Konu Son İleti Gönderen: Uyanan Gençlik 8.Sınıf Matematik - Eşit 22 Ocak 2015, 16:45:22 Sayı Örüntüleri . Fibonacci, Pascal Üçgeni, Aritmetik dizi ve Geometrik dizi. 5 Matematİkkonu anlatimi Bu sayfamızda 10.Sınıf Matematik konu anlatımı videolar, 10.Sınıf Matematik Ders Notları, 10.Sınıf Matematik Konu Özetleri, 10.Sınıf Matematik Konularını ve size katkı sağlayacak birçok kaynağı bir araya getirdik. Pascal üçgeni ve binom açılımı soru çözümleri – Blogger. Permütasyon Vay Tiền Online Chuyển Khoản Ngay. PASCAL ÜÇGENİFransız matematikçi Blaise Pascalın adıyla anılan Pascal Paskal üçgeninin kuralı şu şekildedir► İlk satırda tek eleman vardır ve 1’dir.► Alt satırlara inildikçe satırdaki eleman sayısı 1 artar.► Her satırının ilk ve son elemanı 1’dir.► Satırdaki diğer elemanlar bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının kurala göre devam eden Paskal üçgeninin aşağıda ilk 6 satırı AÇILIMIAşağıdaki özdeşlikleri ya biliyoruz ya da çarpma işlemi yaparak kolayca bulabiliriz.x + y1 = x + yx + y2 = x + y.x + y = x2 + 2xy + y2x + y3 = x + y.x + y.x + y = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3Ancak kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak x + yn ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.x + yn = \\binom{n}{0}\ xn−0 y0 + \\binom{n}{1}\ xn−1 y1 + \\binom{n}{2}\ xn−2 y2 + … + \\binom{n}{n}\ xn−n ynBinom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş x + y5 ifadesinin özdeşini binom formülünü kullanarak x’in azalan kuvvetlerine göre katsayılarını \\binom{5}{0}\dan \\binom{5}{5}\e doğru sırayla yazarız. x’in kuvvetlerini 5’ten 0’a doğru, y’nin kuvvetlerini 0’dan 5’e doğru sırayla terimlere yazarız.x + y5 = \\binom{5}{0}\ x5 y0 + \\binom{5}{1}\ x4 y1 + \\binom{5}{2}\ x3 y2 + \\binom{5}{3}\ x2 y3 + \\binom{5}{4}\ x1 y4 + \\binom{5}{5}\ x0 y5Daha sonra katsayılardaki kombinasyon değerlerini hesaplayıp yerlerine yazarız.x + y5 = 1 x5 y0 + 5 x4 y1 + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x1 y4 + 1 x0 y5Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y5 = x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI İLİŞKİSİPascal üçgenindeki sayılar kombinasyon hesabı ile de elde edilebilir. Bu kombinasyon değerleri aynı zamanda x + yn ifadesinin açılımında katsayılara karşılık gelir. Bu ilişki sayesinde açılımdaki katsayılar kombinasyon hesabı yerine Pascal üçgeninden x + y4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.x + y4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4Pascal ÖzdeşliğiPascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. Bu özelliği yukarıdaki görselde kombinasyonla oluşturulmuş üçgende de Pascal üçgeninde 4 ve 6’nın toplamı alt-ortalarındaki 10’a eşittir. Bu sayıların yerlerine kombinasyon üçgeninde bakacak olursak \\binom{4}{1}\ + \\binom{4}{2}\ = \\binom{5}{2}\ eşitliğini görürüz. Bu eşitliği genellersek aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.\\binom{n}{r}\ + \\binom{n}{r+1}\ = \\binom{n+1}{r+1}\ eşitliğine Pascal özdeşliği \\binom{12}{5}\ + \\binom{12}{6}\ ifadesinin \\binom{13}{6}\ya eşit olduğunu pascal özdeşliği sayesinde AÇILIMININ ÖZELLİKLERİTerim sayısıx+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1 2x + 3y10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim üsler toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n 3x − y8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr 2x + 4y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini + 1 = 4 olduğu için r = 3’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 3, x yerine 2x, y yerine de 4y yazarız.\\binom{n}{r}\ xn−r yr = \\binom{5}{3}\ 2x5−3 4y3 = 10 . 4x2 . 64y3 = 2560x2y3Sondan r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xr yn−r x − 2y7 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan 5. terimini + 1 = 5 olduğu için r = 4’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 4, x yerine x, y yerine de −2y yazarız.\\binom{n}{r}\ xr yn−r = \\binom{7}{4}\ x4 −2y7−4 = 35 . x4 . −8y3 = −280x4y3Ortanca terimn doğal sayı olmak üzere x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn 2x − 110 ifadesinin açılımında ortada yer alan terimi üssü 10 olduğundan n = 5 alırız. Aşağıdaki ifadede n yerine 5, x yerine 2x, y yerine −1 yazarız.\\binom{2n}{n}\ xn yn = \\binom{10}{5}\ 2x5 −15 = 252 . 32x5 . −1 = −8064x5Katsayılar toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı 3x − 5y4 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır toplamını bulmak için x ve y yerine 1 toplamı = − = 3 − 54 = −24 = 16Sabit terimx+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı 3x − 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır terimi bulmak için x yerine 0 terim = − 15 = 0 − 15 = −15 = −1ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULARÖRNEK 1 x − y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.x − y5 = \\binom{5}{0}\ x5 −y0 + \\binom{5}{1}\ x4 −y1 + \\binom{5}{2}\ x3 −y2 + \\binom{5}{3}\ x2 −y3 + \\binom{5}{4}\ x1 −y4 + \\binom{5}{5}\ x0 −y5x − y5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5ÖRNEK 2 3x + 2y3 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.3x + 2y3 = \\binom{3}{0}\ 3x3 2y0 + \\binom{3}{1}\ 3x2 2y1 + \\binom{3}{2}\ 3x1 2y2 + \\binom{3}{3}\ 3x0 2y33x + 2y3 = 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8y3ÖRNEK 3 x + 73k+1 ifadesinin açılımında 11 terim bulunduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1’dir. Bu yüzden3k + 2 = 113k = 9k = 3 4 2x + yk ifadesinin açılımındaki terimlerden biri olduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n’dir. Bu yüzdenk = 2 + 4k = 6 5 −2x + 15 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.x+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1’inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr dir. Bu yüzden r + 1 = 4 eşitliğinden r = 3 elde ederiz.\\binom{5}{3}\ −2x5−3 1310 . 4 . x2 . 1 = 40x2ÖRNEK 6 −x − 26 ifadesinin açılımının ortadaki terimini bulalım.x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn dir. Bu yüzden n yerine 3, x yerine −x, y yerine −2 yazarız.\\binom{6}{3}\ −x3 −23 = 20 . −x3 . −8 = 160x3ÖRNEK 7 2x − 3y5 ifadesinin katsayılar toplamını bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. Bu yüzden katsayılar toplamını − = −15 = −1 8 3x − 26 ifadesinin sabit terimini bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Bu yüzden sabit terimi − 26 = −26 = 64 buluruz.

10 sınıf pascal üçgeni konu anlatımı